Đề thi và đáp án môn toán HSG lớp 8 Hiệp Hòa
Câu1.
- Phân tích các đa thức sau ra thừa số:
- Giải phương trình:
- Cho . Chứng minh rằng:
Câu2. Cho biểu thức:
- Rút gọn biểu thức A.
- Tính giá trị của A , Biết |x| =.
- Tìm giá trị của x để A < 0.
- Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ MEAB, MFAD.
- Chứng minh:
- Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
- Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Câu 4.
- Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
- Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002
Tinh: a2011 + b2011
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 |
||
| Câu | Đáp án | Điểm |
| Câu 1
(3 điểm) |
a. x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2
= (x4 + 4x2 + 4) – (2x)2 = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 – 2x) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) – 24 = (x2 + 7x + 11 – 1)( x2 + 7x + 11 + 1) – 24 = [(x2 + 7x + 11)2 – 1] – 24 = (x2 + 7x + 11)2 – 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) |
(1 điểm)
|
| b. <=> (*)
Vì x2 – x + 1 = (x – )2 + > 0 ð (*) <=> (x – 5)(x + 6) = 0 ð |
(1 điểm) | |
| c. Nhân cả 2 vế của:
với a + b + c; rút gọn đpcm |
(1 điểm) | |
| Câu 2
(3 điểm) |
Biểu thức: | |
| a. Rút gọn được kq: | (1 điểm) | |
| b. hoặc
hoặc |
(0.5 điểm) | |
| c. | (0.5 điểm) | |
| d. | (1 điểm) | |
|
Câu 3 (3 điểm) |
HV + GT + KL
|
(0.5 điểm)
|
| a. Chứng minh:
đpcm |
(1 điểm) | |
| b. DE, BF, CM là ba đường cao của đpcm | (1 điểm) | |
| c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi
không đổi lớn nhất (AEMF là hình vuông) là trung điểm của BD. |
(0.5 điểm) | |
| Câu 4:
(1 điểm)
|
a. Từ: a + b + c = 1
Dấu bằng xảy ra a = b = c = |
(0.5 điểm) |
| b. (a2001 + b2001).(a+ b) – (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002
ð (a+ b) – ab = 1 ð (a – 1).(b – 1) = 0 ð a = 1 hoặc b = 1 Vì a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1; hoặc b = 0 (loại) Vì b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1; hoặc a = 0 (loại) Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2 |
(0.5điểm) | |